Question

（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線與平面所成角是，銳二面角的平面角是，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明．

 

Answer 1

【答案】

本小題滿分12分）

（I）

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，

則由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁于A₁B，

得AD⊥平面A₁BC，        ………………（2分）

又BC平面A₁BC，∴AD⊥BC.

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC. ………………（4分）

又AA₁∩AD=A，從而BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，　

又AB側(cè)面A₁ABB₁，故AB⊥BC；…………（6分）

（II）

方法1：連接CD，則由（I）知是直線AC與平面A₁BC所成的角，

                                           ………………（8分）

是二面角A₁—BC—A的平面角，即，

                                           ………………（10分）

在Rt△ADC中， ，在Rt△ADB中，，

由AC AB，得又所以

                                           ………………（12分）

方法2：設(shè)AA₁=a，AB=b，BC=c，由（I）知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BB₁所在

的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則 B(0，0，0)， A(0，b，0)，C(c，0，0)，，b，a)，

∴(c，0，0)，( 0，b，a)，…………（7分）

( c，-b，0)，設(shè)平面A₁BC的一個(gè)，

由，得，取， ……………（9分）

∴，            

∵平面ABC的法向量為( 0，0，a)，∵二面角A₁—BC—A的平面角是銳角，

∴，

                              ……………（10分）

∵，∴，，

∵，∴．                     ………………（12分）

【解析】略