Question

19．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=$\sqrt{6}$，∠BAD=60°，G為BC的中點．
（1）求證：FG∥平面BED；
（2）求證：平面BED⊥平面AED；
（3）求直線EF與平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用中位線定理，和平行公理得到四邊形OGEF是平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)余弦定理求出BD=$\sqrt{3}$，繼而得到BD⊥AD，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；
（3）先判斷出直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，再根據(jù)余弦定理和解直角三角形即可求出答案．

解答 證明：（1）BD的中點為O，連接OE，OG，在△BCD中，
∵G是BC的中點，
∴OG∥DC，且OG=$\frac{1}{2}$DC=1，
又∵EF∥AB，AB∥DC，
∴EF∥OG，且EF=OG，
即四邊形OGEF是平行四邊形，
∴FG∥OE，
∵FG?平面BED，OE?平面BED，
∴FG∥平面BED；
（2）證明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，
由余弦定理可得BD=$\sqrt{3}$，僅而∠ADB=90°，
即BD⊥AD，
又∵平面AED⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥平面AED，
∵BD?平面BED，
∴平面BED⊥平面AED．
（Ⅲ）∵EF∥AB，
∴直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，
過點A作AH⊥DE于點H，連接BH，
又平面BED∩平面AED=ED，
由（2）知AH⊥平面BED，
∴直線AB與平面BED所成的角為∠ABH，
在△ADE，AD=1，DE=3，AE=$\sqrt{6}$，由余弦定理得cos∠ADE=$\frac{2}{3}$，
∴sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴AH=AD•$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
在Rt△AHB中，sin∠ABH=$\frac{AH}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∴直線EF與平面BED所成角的正弦值$\frac{\sqrt{5}}{6}$

點評 本題考查了直線與平面的平行和垂直，平面與平面的垂直，直線與平面所成的角，考查了空間想象能力，運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．