Question

已知二面角α-l-β的大小50°，P為空間中任意一點，則過點P且與平面α和β所成角都是30°的直線的條數(shù)為（ ）
A．1條
B．2條
C．3條
D．4條

Answer 1

【答案】分析：過P做平面A垂直于α、β的交線l，并且交l于點0，連接PO，則PO垂直于l，過點P在A內(nèi)做OP的垂線L'，以PO為軸在垂直于PO的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動L'，根據(jù)三垂線定理可得有兩條直線滿足題意．以P點為軸在平面A內(nèi)前后轉(zhuǎn)動L'，根據(jù)三垂線定理可得也有兩條直線滿足題意．
解答：解：首先給出下面兩個結(jié)論
①兩條平行線與同一個平面所成的角相等．
②與二面角的兩個面成等角的直線在二面角的平分面上．
圖1．
（1）如圖1，過二面角α-l-β內(nèi)任一點作棱l的垂面AOB，交棱于點O，與兩半平面于OA，OB，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角，∠AOB=50°
設(shè)OP₁為∠AOB的平分線，則∠P₁OA=∠P₁OB=25°，與平面α，β所成的角都是30°，此時過P且與OP₁平行的直線不符合要求，當OP₁以O(shè)為軸心，在二面角α-l-β的平分面上轉(zhuǎn)動時，OP₁與兩平面夾角變小，不再會出現(xiàn)30°情形．
圖2．
（2）如圖2，設(shè)OP₂為∠AOB的補角∠AOB′，則∠P₂OA=∠P₂OB=65°，與平面α，β所成的角都是65°．當OP₂以O(shè)為軸心，在二面角α-l-β′的平分面上轉(zhuǎn)動時，OP₂與兩平面夾角變小，對稱地在圖中OP₂兩側(cè)會出現(xiàn)25°情形，有兩條．此時過P且與OP₂平行的直線符合要求，有兩條．
綜上所述，直線的條數(shù)共有2條．
故選B．
點評：本題主要考查線面角，以及考查解決線面角的特殊方法的應(yīng)用，本題條件繁多，需仔細理清頭緒，考查審題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和運動變化的思想方法，此題是個中檔題．