Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面，為的中點，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若異面直線與所成角為，求的長；

（3）在（2）的條件下，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）若要證明平面平面,可先證明平面,由面面垂直的性質可得,即證明即可,進而求證；

（2）以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,設,分別求得與,進而利用數量積求解即可；

（3）由（2）,分別求得平面與平面的法向量,進而利用數量積求解.

（1）∵,,為的中點,

∴四邊形為平行四邊形,∴,

∵,∴,∴,

又∵平面底面,且平面平面,

∴平面,

∵平面,∴平面平面.

（2）∵,為的中點,∴,

∵平面底面,且平面平面,∴底面,

以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,

設,則,,,,,

∴,,設異面直線與所成角為,

∵異面直線與所成角為,

∴,解得,

∴在中,.

（3）由（2）平面的法向量,,,,

設平面的法向量,

則,取,得,

設平面與平面所成銳二面角為,則,

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.