Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

(1+a)x2+(a+b)x+a有兩個極值點x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，則

b

a

的取值范圍為（　　）

• A．(-1，-

  1

  2

  )
• B．(-

  3

  2

  ，-1)
• C．(-2，-

  3

  2

  )
• D．(-2，-

  1

  2

  )

Answer 1

分析：對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)有兩個極值點得到導(dǎo)函數(shù)有兩個根，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的兩個根的范圍建立a、b的約束條件，然后利用線性規(guī)劃的方法求出目標(biāo)函數(shù)的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

(1+a)x2+(a+b)x+a
∴f′（x）=x²+（a+1）x+（a+b）=0的兩個根為x₁，x₂，
∵x₁，x₂分別滿足0＜x₁＜1＜x₂＜2，
∴

f′(0)＞0 f′(2)＞0 f′(1)＜0

即

a+b＞0 3a+b+6＞0 2a+b+2＜0

畫出區(qū)域圖得

∵

b

a

表示可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率，
∴當(dāng)直線過A點時，直線的斜率取得最小值-

3

2

，
當(dāng)直線過B點時，直線的斜率取得最大值-1，
∴要求的目標(biāo)函數(shù)的范圍是[-

3

2

，-1]
故選B

點評：本題考查函數(shù)的極值取得的條件，考查一元二次方程的實根分布，本題的解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，本題是一個綜合題目．