Question

設函數(shù)．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）設，在[1，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（3）當a≠0時，求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=0時，f（x）=2lnx+，
∴f'（x）=﹣=，
由f'（x）=0得x=，
于是，f（x），f'（x）隨x變化如下表：

故，f（x）極小值=f（）=2﹣ln2，沒有極大值．
（2）由題意，g（x）=（2﹣a）lnx+2ax，在[1，+∞）上單調遞增，
∴g'（x）=+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，設h（x）=2ax+2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立，
當a=0時，2≥0恒成立，符合題意．
當a＞0時，h（x）在[1，+∞）上單調遞增，h（x）的最小值為h（1）=2a+2﹣a≥0，
得a≥﹣2，所以a＞0
當a＜0時，h（x）在[1，+∞）上單調遞減，不合題意
所以a≥0
（3）由題意得，f'（x）=，
令f'（x）=0得x₁=﹣，x₂=，
若a＞0，由f'（x）≤0得x∈（0，]；
由f'（x）≥0得x∈[，+∞）；
若a＜0，①當a＜﹣2時，0＜﹣＜，x∈（0，﹣]或x∈[，+∞），f'（x）≤0；x∈[﹣，]，f'（x）≥0，
②當a=﹣2時，f'（x）≤0；
③當﹣2＜a＜0時，﹣＞，x∈（0，]或x∈[﹣，+∞），f'（x）≤0；x∈[，﹣]，f'（x）≥0．
綜上，當a＞0時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（0，]，單調遞增區(qū)間為[，+∞）；
當a＜﹣2時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（0，﹣]，[，+∞），單調遞增區(qū)間為[﹣，]；
當a=﹣2時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當﹣2＜a＜0時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（0，]，[﹣，+∞），單調遞增區(qū)間為[，﹣]．