Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，數(shù)列{b_n}滿足a₁=b₁，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式，先要根據(jù)已知條件判斷，數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，由a₁=1，a_n+1=2S_n+1，不難得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，而由數(shù)列{b_n}滿足a₁=b₁，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，n∈N^*，易得數(shù)列{b_n}是一個等差數(shù)列．求出對應(yīng)的基本量，代入即可求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）由（1）中結(jié)論，我們易得，即數(shù)列{c_n}的通項公式可以分解為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列相乘的形式，則可以用錯位相消法，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，
a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁．
故{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．
所以a_n=3^n-1．
由點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，所以b_n+1-b_n=2．
則數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
則b_n=1+（n-1）•2=2n-1
（Ⅱ）因為，所以．
則，
兩式相減得：．
所以=．
點評：解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項公式及前n項和公式，然后代入進(jìn)行運算．