Question

9．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3且a_n+2=3a_n+1-2a_n，n∈N，對數(shù)列{a_n}有下列命題：①數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；②數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；③當(dāng)n≥2時(shí)，a_n都是質(zhì)數(shù)；④$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜2，n∈N，則其中正確的命題有（　�。�

• A． ①②③④
• B． ①②
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 通過對a_n+2=3a_n+1-2a_n變形可知數(shù)列{a_n+1-a_n}是以首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可知a_n-a_n-1=2^n-1、a_n-1-a_n-2=2^n-2、…、a₂-a₁=2¹，疊加可知a_n=2ⁿ-1，進(jìn)而可知①②③中只有②正確，通過放縮可知$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），利用等比數(shù)列的求和公式可知④正確．

解答 解：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
又∵a₂-a₁=3-1=2，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
a_n-a_n-1=2^n-1，
a_n-1-a_n-2=2^n-2，
…
a₂-a₁=2¹，
累加得：a_n-a₁=2¹+2²+…+2^n-1=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ-2，
∴a_n=2ⁿ-2+a₁=2ⁿ-1．
顯然①②③中，只有②正確，
又∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
＜2，
故④正確；
綜上所述，①③錯(cuò)誤、②④正確，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查說了的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．