設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個(gè)命題：
①c=0時(shí)，f（x）是奇函數(shù)；
②b=0，c＞0時(shí)，方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根；
③f（x）的圖象關(guān)于（0，c）對(duì)稱；
④方程f（x）=0至多兩個(gè)實(shí)根．
其中正確的命題是（ ）
A．①④
B．①③
C．①②③
D．①②④
【答案】分析：①c=0時(shí)，可由奇函數(shù)的定義判斷正確．③由①可知c=0時(shí)，f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f（x）=x|x|+bx+c的圖象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|個(gè)單位，故關(guān)于（0，c）對(duì)稱正確；②④中取b=-3，c=2即可判斷錯(cuò)誤．
解答：解：①c=0時(shí)，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)，故①正確；
③由①可知c=0時(shí)，f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）=x|x|+bx+c的圖象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|個(gè)單位，故關(guān)于（0，c）對(duì)稱正確；
取b=-1，c=0，則f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故④錯(cuò)誤；
b=0，c＞0時(shí)函數(shù)f（x）是一個(gè)增函數(shù)，故只有一個(gè)零點(diǎn)，故②正確
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度較大．
