Question

已知橢圓C：的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e，直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，且
（1）計算橢圓的離心率e
（2）若直線l向右平移一個單位后得到l′，l′被橢圓C截得的弦長為，則求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，求出交點M的坐標(biāo)，利用得到e值．
（2）由（1）中求得的e值，可求出直線l方程，并化簡橢圓方程，使其只含一個參數(shù)，設(shè)l′方程，與橢圓方程聯(lián)立，用弦長公式求出l′被橢圓C截得的弦長，令其等于，即可得到橢圓方程．
解答：解：（1）y=ex+a，∴A（-，0），B（0，a） 
由，∴∴M（-c，），由，得 
（-c+，）=（，a），即∴e²=1-=，∴e=     
（2）∵e=，設(shè)橢圓的方程為3x²+4y²=3a²，l：y=x-+a
即消y，得4x²+（4a-2）x+a²-4a+1=0．設(shè)l交橢圓于B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
    
∴l(xiāng)===    
∴a=∴橢圓的方程為
點評：本題主要考查了利用直線與橢圓位置關(guān)系求參數(shù)的值，注意韋達(dá)定理的應(yīng)用．