Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，A₁A=AD=1，E為AD₁與A₁D的交點(diǎn)．
（1）求二面角C-AD₁-D 的平面角正切值．
（2）求D點(diǎn)到平面ACD₁的距離．

Answer 1

分析：（1）在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DD₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面AD₁D與AD₁C的一個(gè)法向量，由兩個(gè)法向量所成的角的余弦值求二面角的余弦值，從而求出正切值；
（2）在（1）中求出了AD₁C的一個(gè)法向量，E點(diǎn)是平面AD₁C上的一個(gè)點(diǎn)，求出向量

ED

，則向量

ED

在平面AD₁C的一個(gè)法向量上的投影的絕對(duì)值即為點(diǎn)D到平面ACD₁的距離．

解答：解：（1）如圖，

以DA、DC、DD₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)锳B=2，A₁A=AD=1，E為AD₁與A₁D的交點(diǎn)，
所以，A（1，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），
E（

1

2

，0，

1

2

），D（0，0，0）．

AC

=(-1，2，0)，

D1C

=(0，2，-1)，

ED

=(-

1

2

，0，-

1

2

)．
則平面AD₁D的一個(gè)法向量為

DC

=(2，0，0)，
設(shè)平面AD₁C的一個(gè)法向量

n

=(x，y，z)，
由

n • D1C =0 n • AC =0

，得

2y-z=0 -x+2y=0

，取y=1，則x=z=2，
所以

n

=(2，1，2)．
再設(shè)二面角C-AD₁-D 的平面角為θ，
則cosθ=

DC • n

| DC || n |

=

4+1×0+2×0

22+02+02 • 22+12+22

=

2

3

．
所以sinθ=

1-cos2θ

=

1-( 2 3 )2

=

5

3

．
則二面角C-AD₁-D 的平面角正切值為tanθ=

sinθ

cosθ

=

5 3

2 3

=

5

2

．
（2）D點(diǎn)到平面AD₁C的距離為d=

| ED • n |

| n |

=

|(- 1 2 )×2+0×1+(- 1 2 )×2|

22+12+22

=

2

3

．
所以D點(diǎn)到平面ACD₁的距離為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的點(diǎn)線面的角及距離的計(jì)算，考查了向量法，利用向量法求解空間角和距離的關(guān)鍵是在理解的基礎(chǔ)上熟記有關(guān)公式，該題是中檔題．