Question

已知函數(shù)f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是減函數(shù),求a的取值范圍.

Answer 1

分析:本題主要考查導數(shù)的概念和計算,應用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法,考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.

解:求函數(shù)f(x)的導數(shù):

f′(x)=3ax²+6x-1.

(1)當f′(x)<0(x∈R)時,f(x)是減函數(shù),

3ax²+6x-1<0(x∈R)a<0,

且Δ=36+12a<0a<-3.

所以,當a<-3時,由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是減函數(shù).

(2)當a=-3時,f(x)=-3x³+3x²-x+1=-3(x-)³+,

由函數(shù)y=x³在R上的單調(diào)性,可知

當a=-3時,f(x)(x∈R)是減函數(shù).

(3)當a>-3時,在R上存在一個區(qū)間,其上有f′(x)>0,

所以,當a>-3時,函數(shù)f(x)(x∈R)不是減函數(shù).

綜上,所求a的取值范圍是(-∞,-3］.

點評：二次函數(shù)與x軸有相交、相切、相離三種位置關系,拋物線的開口方向由二次項的系數(shù)的正、負決定,位置關系由判別式?jīng)Q定.