Question

（2013•閔行區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

.

2sinx 3 (sinx-cosx) sinx+cosx cosx

.

；
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)y=f(x-

π

2

)，x∈[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)二階行列式的定義表示出函數(shù)f（x）的解析式后化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，根據(jù)T=

2π

w

，可得答案．
（2）先化簡函數(shù)y=f(x-

π

2

)，再根據(jù)x的范圍求出2x-

2π

3

的范圍，再由三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)y=f(x-

π

2

)，x∈[0，

π

2

]的值域．

解答：解：（1）f(x)=

.

2sinx 3 (sinx-cosx) sinx+cosx cosx

.

=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)…（3分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π…（3分）
（2）y=f(x-

π

2

)=2sin[2(x-

π

2

)+

π

3

]=2sin(2x-

2π

3

)…（2分）
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

2π

3

≤2x-

2π

3

≤

π

3

，-1≤sin(2x-

2π

3

)≤

3

2

…（2分）
∴y∈[-2，

3

]．…（2分）
另解：y=f(x-

π

2

)=2sin[2(x-

π

2

)+

π

3

]=2sin(2x+

π

3

-π)=-2sin(2x+

π

3

)…（2分）
∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1…（2分）
∴-2≤-2sin(2x+

π

3

)≤

3

，即y∈[-2，

3

]．…（2分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法和單調(diào)區(qū)間的求法．一般都是把函數(shù)先化簡為y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解題．