Question

（本小題滿分12分）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知，，若且橢圓的離心率，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線過橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距），求直線的斜率的值；

（Ⅲ）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）為定值.

 

【解析】(I)由e和橢圓上的一個(gè)點(diǎn)可以建立關(guān)于a,b,c兩個(gè)方程，再結(jié)合可解出a,b的值，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)要注意焦點(diǎn)位置.

（II）先求出直線l的方程，然后與橢圓方程聯(lián)立消y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)0,借助韋達(dá)定理建立關(guān)于k的方程求出k的值.

(III)先討論斜率不存在時(shí)，面積是否為定值，然后再求當(dāng)斜率存在時(shí)，面積是否為定值，再求面積時(shí)要利用弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式.

解：（Ⅰ）∵          …………………2分

∴   

∴橢圓的方程為      ………………3分

  （Ⅱ）依題意，設(shè)的方程為

          由

            顯然

                ………………5分

         由已知得：

       

 

               解得            ……………………6分

      （Ⅲ）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，

由已知，得

            又在橢圓上，

所以

          ,三角形的面積為定值．………7分

           ②當(dāng)直線斜率存在時(shí)：設(shè)的方程為

          

        必須 即

        得到，        ………………9分

         ∵，∴

        代入整理得：              …………………10分

          …………11分

          

         所以三角形的面積為定值．              …………………12分