Question

已知θ∈R，則

1+sin2θ

+

1+cos2θ

的最大值是（　�。�

• A．1+

  2

• B．2

  2

• C．

  5

• D．

  6

Answer 1

分析：把所求式子平方，利用完全平方公式化簡(jiǎn)后，再根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把被開方數(shù)化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的值域，即可得到所求式子平方的最大值，開方即可求出所求式子的最大值．

解答：解：（

1+sin2θ

+

1+cos2θ

）²
=1+sin²θ+1+cos²θ+2

(1+sin2θ)(1+cos2θ)

=3+2

2+ sin22θ 4

=3+2

2+ 1-cos4θ 8

=3+2

17 8 - 1 8 cos4θ

，
∵-1≤cos4θ≤1，
∴當(dāng)cos4θ=-1時(shí)，（

1+sin2θ

+

1+cos2θ

）²取得最大值，
最大值為3+2

9 4

=6，
則

1+sin2θ

+

1+cos2θ

的最大值是

6

．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，涉及的知識(shí)有：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的值域，把所求式子平方，利用三角函數(shù)的恒等變形把被開方數(shù)化為一個(gè)角的余弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．