Question

（2012•張掖模擬）定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（1-x）=1，f(

x

5

)=

1

2

f(x)，且當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂），則f(

2011

2012

)的值為（　�。�

• A．

  63

  64

• B．

  31

  32

• C．

  15

  16

• D．

  7

  8

Answer 1

分析：根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（1-x）=1，令x=1得f（1）=1，由f(

x

5

)=

1

2

f(x)，令x=1得f(

1

5

)=

1

2

f(1)=

1

2

，令x=

1

5

，可求出f(

1

25

)=

1

2

f(

1

5

) =

1

4

，不斷迭代可得f(

1

3125

)=

1

32

，同理可得f(

1

1250

)=

1

32

，再利用當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂），可得有f（

1

2012

）=

1

32

，利用f（x）+f（1-x）=1，及f(

2011

2012

)=1-f(

1

2012

)，即可求得結(jié)論．

解答：解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（1-x）=1，令x=1得f（1）=1
由f(

x

5

)=

1

2

f(x)，令x=1得f(

1

5

)=

1

2

f(1)=

1

2

令x=

1

5

，可求出f(

1

25

)=

1

2

f(

1

5

) =

1

4

從而可得f(

1

3125

)=

1

32

①
∵f（x）+f（1-x）=1，令x=

1

2

可得f（

1

2

）+f（1-

1

2

）=1，∴f（

1

2

）=

1

2

同理可得f(

1

1250

)=

1

32

②
這樣由①②式，有f(

1

3125

)=f(

1

1250

)=

1

32

∵

1

3125

＜

1

2012

＜

1

1250

，當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂），
∴有f（

1

2012

）≥f(

1

3125

)=

1

32

，f（

1

2012

）≤f(

1

1250

)=

1

32

 
∴有f（

1

2012

）=

1

32

由f（x）+f（1-x）=1，f(

2011

2012

)=1-f(

1

2012

)=1-

1

32

=

31

32

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，考查賦值法的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是正確賦值及使用夾逼法求值．