Question

（2011•臨沂二模）已知向量

a

=（sinx，

3

2

），

b

=（cosx，-1）．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求2cos²x-sin2x的值；
（Ⅱ）若(

a

+

b

) •

b

=

2

4

，且x∈(0，

π

2

)，求x的值．

Answer 1

分析：（I）由

a

∥

b

可得，-sinx-

3

2

cosx=0，化簡可求tanx，而2cos²x-sin2x=2cos²x-2sinxcosx=

2cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2-2tanx

1+tan2x

代入可求
（II）利用向量的數(shù)量積可求(

a

+

b

) •

b

=

2

2

sin(2x+

π

4

)，從而有

2

2

sin(2x+

π

4

)=

2

4

，結(jié)合0＜x＜

π

2

可求x

解答：解：（I）由

a

∥

b

可得，-sinx-

3

2

cosx=0

sinx

cosx

=-

3

2

（2分）
tanx=-

3

2

（3分）
則2cos²x-sin2x=2cos²x-2sinxcosx
=

2cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2-2tanx

1+tan2x

=

20

13

（6分）
（II）

a

+

b

=(sinx+cosx，

1

2

)
∴(

a

+

b

) •

b

=(sinx+cosx，

1

2

)•(cosx，-1)
=sinxcosx+cos2x-

1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x
=

2

2

sin(2x+

π

4

)（9分）
由

2

2

sin(2x+

π

4

)=

2

4

sin(2x+

π

4

)=

1

2

（10分）
∵0＜x＜

π

2

∴

π

4

＜2x+

π

4

＜

5π

4

（11分）
∴2x+

π

4

=

5π

6

∴x=

7π

24

（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)表示及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，三角函數(shù)的值域的求解，屬于三角函數(shù)與向量知識的綜合性應(yīng)用．