Question

4．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C極坐標(biāo)方程：${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，點(diǎn)P極坐標(biāo)為$（{2\sqrt{3}，\frac{π}{6}}）$，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為$\frac{π}{3}$．
（1）求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程及直線(xiàn)l參數(shù)方程；
（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求$|{\frac{1}{{|{PA}|}}-\frac{1}{{|{PB}|}}}|$．

Answer 1

分析 （1）曲線(xiàn)C極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為3ρ²+ρ²sin²θ=12，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；由直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（3，$\sqrt{3}$），且傾斜角為$\frac{π}{3}$，能求出直線(xiàn)l參數(shù)方程．
（2）把直線(xiàn)l參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線(xiàn)C：3x²+4y²=12，得：$\frac{5}{4}{t}^{2}+7t+9=0$，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出$|{\frac{1}{{|{PA}|}}-\frac{1}{{|{PB}|}}}|$的值．

解答 解：（1）∵曲線(xiàn)C極坐標(biāo)方程：${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，∴3ρ²+ρ²sin²θ=12，
∵ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，
∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為3x²+4y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∵點(diǎn)P極坐標(biāo)為$（{2\sqrt{3}，\frac{π}{6}}）$，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為$\frac{π}{3}$．
∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$），
∴直線(xiàn)l參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）把直線(xiàn)l參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線(xiàn)C：3x²+4y²=12，
整理，得：$\frac{5}{4}{t}^{2}+7t+9=0$，
$△={7}^{2}-4×\frac{5}{4}×9$=4＞0，
設(shè)方程的兩根為t₁，t₂，則t₁+t₂=-$\frac{28}{5}$，t₁t₂=$\frac{36}{5}$，∴t₁＜0，t₂＜0，
∴$|{\frac{1}{{|{PA}|}}-\frac{1}{{|{PB}|}}}|$=|$\frac{1}{|{t}_{1}|}-\frac{1}{|{t}_{2}|}$|=|$\frac{|{t}_{2}|-|{t}_{1}|}{|{t}_{1}||{t}_{2}|}$|=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（-\frac{28}{5}）^{2}-4×\frac{36}{5}}}{\frac{36}{5}}$=$\frac{2}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化為普通方程的求法，考查直線(xiàn)的參數(shù)方程的求法，考查兩線(xiàn)段長(zhǎng)的倒數(shù)之差的絕對(duì)值的求法，考查韋達(dá)定理、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．