Question

已知函數(shù)f（x）=

3x-2-x

3x+2-x

．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性，并加以證明；
（Ⅲ）寫出f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為x∈R，所以定義域關于原點對稱．又因為 f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）任意取x₁，x₂，并且x₁＞x₂∴6x1＞6x2＞0，則 f（x₁）-f（x₂）=

2(6x1-6x2)

(6x1+1)( 6x2+1)

＞0，所以f（x）在R上是增函數(shù)．
（Ⅲ）∵0＜

2

6x+1

＜2∴f（x）=1-

2

6x+1

∈（-1，1），進而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：x∈R，所以定義域關于原點對稱．
又因為 f（x）=

3x-2-x

3x+2-x

=

2x•3x-1

2x•3x+1

=

6x-1

6x+1

所以f（-x）=

6-x-1

6-x+1

=

1-6x

1+6x

=-f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）f（x）=

6x-1

6x+1

=

(6x+1)-2

6x+1

=1-

2

6x+1

，在R上是增函數(shù)，
證明如下：任意取x₁，x₂，并且x₁＞x₂∴6x1＞6x2＞0
則 f（x₁）-f（x₂）=

2

6x2+1

-

2

6x1+1

=

2(6x1-6x2)

(6x1+1)( 6x2+1)

＞0
所以f（x₁）＞f（x₂），則f（x）在R上是增函數(shù)．
（Ⅲ）∵0＜

2

6x+1

＜2
∴f（x）=1-

2

6x+1

∈（-1，1），
所以f（x）的值域為（-1，1）．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數(shù)的有關性質，如奇偶性、單調性、周期性、值域與定義域等性質．