Question

4．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（　�。�

• A． 140°
• B． 130°
• C． 120°
• D． 110°

Answer 1

分析 作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．由此能求出△AMN周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)．

解答 解：如下圖，作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，
連接A′A″，交BC于M，交CD于N，
則A′A″即為△AMN的周長最小值．
作DA延長線AH，
∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，
∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM
=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″
=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查兩角度數(shù)和的求法，考查三角形性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．