Question

14．已知函數(shù)$f（x）=aln（x-a）-\frac{1}{2}{x^2}+x$（a＜0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-3時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的圖象求出a的具體范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a=-3，∴$f（x）=-3ln（x+3）-\frac{1}{2}{x^2}+x$，
故$f'（x）=\frac{-x（x+2）}{x+3}（x＞-3）$，
令f′（x）＜0，解得-3＜x＜-2或x＞0，
即所求的單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，-2）和（0，+∞）；
（Ⅱ）∵$f'（x）=\frac{a}{x-a}-x+1=\frac{-x[x-（a+1）]}{x-a}$（x＞a），
令f′（x）=0，得x=0或x=a+1，
（1）當(dāng)a+1＞0，即-1＜a＜0時(shí)，
f（x）在（a，0）和（a+1，+∞）上為減函數(shù)，在（0，a+1）上為增函數(shù)，
由于f（0）=aln（-a）＞0，當(dāng)x→a時(shí)，f（x）→+∞，
當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，于是可得函數(shù)f（x）圖象的草圖如圖：
此時(shí)函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
即當(dāng)-1＜a＜0對，f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，$f（x）=-ln（x+1）-\frac{1}{2}{x^2}+x$，
∵$f'（x）=\frac{{-{x^2}}}{x+1}≤0$，∴f（x）在（a，+∞）單調(diào)遞減，
又當(dāng)x→-1時(shí)，f（x）→+∞．當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，
故函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）當(dāng)a+1＜0即a＜-1時(shí)，
f（x）在（a，a+1）和（0，+∞）上為減函數(shù)，在（a+1，0）上為增函數(shù)，
又f（0）=aln（-a）＜0，當(dāng)x→a時(shí)，f（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，
于是可得函數(shù)f（x）圖象的草圖如圖：

此時(shí)函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上所述，所求的范圍是a＜0．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道綜合題．