Question

13．求證：在二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+x中，若x₁≠x₂，則使“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”的充要條件是“a＞0”

Answer 1

分析 結(jié)合函數(shù)的凸凹性，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及充要條件的定義，可得結(jié)論．

解答 證明：在二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+x中，若x₁≠x₂，
當(dāng)“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”時(shí)，函數(shù)為凹函數(shù)，即“a＞0”成立，
當(dāng)“a＞0”時(shí)，函數(shù)為凹函數(shù)，“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”，
故在二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+x中，若x₁≠x₂，則使“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”的充要條件是“a＞0”

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分必要條件的判斷，屬于基本題型，理解充分必要條件的概念是解決本題的關(guān)鍵．