Question

設(shè)拋物線y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

Answer 1

證明:∵拋物線的焦點(diǎn)為F(,0),?

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為?

x=my+.?

代入拋物線方程，得

y²-2pmy-p²=0.?

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則y₁、y₂是該方程的兩根，?

∴y₁y₂=-p².?

∵BC∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上，?

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,y₂).?

∴直線OC的斜率為

k= ==,

即k也是直線OA的斜率.

∴直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

溫馨提示:本題若設(shè)直線AB的點(diǎn)斜式方程也可以，但必須還要討論斜率k不存在的情況.另外，證明直線AC過(guò)原點(diǎn)O,這里是利用了直線OC與直線AC斜率相等,非常簡(jiǎn)捷，如若寫(xiě)出直線AC的方程，通過(guò)(0，0)適合方程來(lái)證明，將較復(fù)雜.