Question

17．已知函數(shù)f（x）=2^x，g（x）=x²+ax（其中a∈R）．對于不相等的實數(shù)x₁、x₂，設m=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，n=$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．現(xiàn)有如下命題：
①對于任意不相等的實數(shù)x₁、x₂，都有m＞0；
②對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x₁、x₂，都有n＞0；
③對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x₁、x₂，使得m=n；
④對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x₁、x₂，使得m=-n．
其中的真命題有①④（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析 運用指數(shù)函數(shù)的單調性，即可判斷①；由二次函數(shù)的單調性，即可判斷②；
通過函數(shù)h（x）=x²+ax-2^x，求出導數(shù)判斷單調性，即可判斷③；
通過函數(shù)h（x）=x²+ax+2^x，求出導數(shù)判斷單調性，即可判斷④．

解答 解：對于①，由于2＞1，由指數(shù)函數(shù)的單調性可得f（x）在R上遞增，即有m＞0，則①正確；
對于②，由二次函數(shù)的單調性可得g（x）在（-∞，-$\frac{a}{2}$）遞減，在（-$\frac{a}{2}$，+∞）遞增，則n＞0不恒成立，
則②錯誤；
對于③，由m=n，可得f（x₁）-f（x₂）=g（x₁）-g（x₂），即為g（x₁）-f（x₁）=g（x₂）-f（x₂），
考查函數(shù)h（x）=x²+ax-2^x，h′（x）=2x+a-2^xln2，
當a→-∞，h′（x）小于0，h（x）單調遞減，則③錯誤；
對于④，由m=-n，可得f（x₁）-f（x₂）=-[g（x₁）-g（x₂）]，考查函數(shù)h（x）=x²+ax+2^x，
h′（x）=2x+a+2^xln2，對于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，則④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查函數(shù)的單調性及運用，注意運用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調性，以及導數(shù)判斷單調性是解題的關鍵．