Question

15．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，則EC=4．

Answer 1

分析 利用切割線定理結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)，得PA=3，由弦切角定理結(jié)合有一個角為60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，從而求出EC的長．

解答 解：∵PA是圓O的切線，∴PA²=PD•PB=9，可得PA=3．
∵∠PAC是弦切角，夾弧ADC，∴∠PAC=∠ABC=60°，
∵△APE中，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3．
∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2
∵圓O中，弦AC、BD相交于E，
∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，∴EC=4，
故答案為：4．

點評 本題在圓中給出切線，并且以切線長為一邊作正三角形的情況下，求線段的長度．著重考查了切線的性質(zhì)、正三角形的判定和相交弦定理等知識，屬于中檔題．