Question

已知數(shù)列{a_n} 的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a₁+a₂+ ……+a_n，B（n）=a₂+a₃+ ……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+ ……+a_n+2，n=1 ，2 ，…… 。
（1）若a₁=1 ，a₂=5 ，且對(duì)任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式，
（2）證明：數(shù)列{a_n} 是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列。

Answer 1

解：（1）對(duì)任意，三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，
所以
即亦即
故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列
于是。
（2）①必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對(duì)任意，
有
由知，均大于0，
于是

即＝＝，
所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列。
②充分性：若對(duì)于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，
則，于是得
即
由有即，
從而
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 41px; HEIGHT: 23px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120921/20120921105047591898.png">，所以，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列。