Question

13．設函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-2|，x∈R．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=a|x-1|恰有兩個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值的意義，求得不等式f（x）≤6的解集．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象（圖中紅色部分）與直線 y=a|x-1|有2個不同的交點，數(shù)形結合可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-2|表示數(shù)軸上的x
對應點到-2、2對應點的距離之和，
而3和-3對應點到-2、2對應點的距離之和正好等于6，
故不等式f（x）≤6的解集為 {x|-3≤x≤3 }．
（Ⅱ）∵f（x）=|x+2|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，x＜-2}\\{4，-2≤x≤2}\\{2x，x＞2}\end{array}\right.$，
∴f（x）≥4，
若關于x的方程f（x）=a|x-1|恰有兩個不同的實數(shù)根，
則函數(shù)f（x）的圖象與直線 y=a|x-1|（圖中紅色部分）
有2個不同的交點，如圖所示：
由于A（-2，4）、B（2，4）、C（1，0），
∴-2＜-a＜K_CA，或 a≥K_CB，
即-2＜-a＜-$\frac{4}{3}$，或a≥4，
求得 $\frac{4}{3}$＜a＜2，或a≥4．

點評 本題主要絕對值的意義，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．