Question

1．已知奇函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x+c}$（c∈R）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[2，+∞）時，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，得到$\frac{{x}^{2}+1}{-x+c}$=-$\frac{{x}^{2}+1}{x+c}$=$\frac{{x}^{2}+1}{-x-c}$，比較系數(shù)求出c的值即可；（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{{x}^{2}+1}{-x+c}$=-$\frac{{x}^{2}+1}{x+c}$=$\frac{{x}^{2}+1}{-x-c}$，
比較系數(shù)得：c=-c，∴c=0，
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$；
（Ⅱ）∵f（x）=x+$\frac{1}{x}$，∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈[2，+∞）時，1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（2）=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．