Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）如果曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求證：；

（Ⅲ）若存在單調(diào)遞增區(qū)間，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由即可解出；（Ⅱ）對(duì)進(jìn)行二次求導(dǎo)，通過(guò)二次求導(dǎo)所得導(dǎo)函數(shù)恒正，得到單調(diào)遞增；根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知在上，存在零點(diǎn)；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)得到單調(diào)性，從而確定最大值為，則結(jié)論可證；（III）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使得，通過(guò)分離變量將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與最值的比較；在時(shí)求的最小值；時(shí)求的最大值，由于最值點(diǎn)無(wú)法取得，結(jié)合洛必達(dá)法則求得極限值；從而可得的取值范圍.

（Ⅰ）由題意知：

則，即

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/08/15/08/7528bcf4/SYS201908150803096317375479_DA/SYS201908150803096317375479_DA.019.png" width="125" height="23" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />

令

因此恒成立

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增

又，

存在唯一的，使得

列表如下：

			極小值

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)，時(shí)，

（Ⅲ）由題意可知，存在，使得

當(dāng)時(shí)，，不合題意；

當(dāng)時(shí)，

令，則

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；時(shí)，，則單調(diào)遞增

可得時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減.

又時(shí)，

.

綜上可得：