Question

已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n+1=，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b₂=4，b_n+2+2b_n=3b_n+1.

(Ⅰ)求a_n；

(Ⅱ)求b_n；

(Ⅲ)令c_n=，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

解：(Ⅰ)令n=1，a₁+1=，

∵a₁+1＞0，∴1=，a₁=2

由已知得2S_n+2=+a_n①

2S_n+1+2=+a_n+1②

②-①得(a_n+1+a_n=-,∵an＞0,∴a_n+1-a_n=1

∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

∴a_n=n+1 

(Ⅱ)由b_n+2+2b_n=3b_n+1得b_n+2-b_n+1=2(b_n+1-b_n)

∵b₁=2，b₂=4,b₂- b₁=2，∴=2

∴數(shù)列{b_n+1-b_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列

b_n+1-b_n=2ⁿ

b₂-b₁=2

b₃-b₂=2²

b₄-b₃=2³

……

b_n-b_n-1=2^n-1

累加得b_n=2ⁿ

(Ⅲ)c_n==(n+1)

T_n=2×+3()²+4()³+…+(n+1)()ⁿ③

T_n=2()²+3()³+…+n()ⁿ+(n+1)()ⁿ⁺¹④

③-④并整理得T_n=3-＜3