【答案】
分析：欲求
的值，由于
=
，故須求出三角形的內(nèi)角及邊的比值，設(shè)出三角形的三邊分別為a，b，c，根據(jù)由G為三角形的重心，根據(jù)中線的性質(zhì)及向量的加法法則分別表示出
，
和
，代入化簡后的式子中，然后又根據(jù)
等于
加
，把上式進(jìn)行化簡，最后得到關(guān)于
和
的關(guān)系式，由
和
為非零向量，得到兩向量前的系數(shù)等于0，列出關(guān)于a，b及c的方程組，不妨令b=
，，即可求出a與b的值，然后根據(jù)余弦定理表示出cosB，把a(bǔ)，b，c的值代入即可求出cosB的值，同理求得cosC即得．
解答：解：因?yàn)?
設(shè)三角形的邊長順次為a，b，c，根據(jù)正弦定理得：
a
+2b
+2
c
=
，
由點(diǎn)G為三角形的重心，根據(jù)中線的性質(zhì)及向量加法法則得：
3
=
+
，3
=
+
，3
=
+
，
代入上式得：
a（
+
）+2b（
+
）+2
c（
+
）=
，
又
=
+
，上式可化為：
a（2
+
）+2b（
+
）+2
c（-
+2
）=
，
即（2
a-2b-2
c）
+（-
a-2b+4
c）
=
，
則有
，令b=
，解得：
，
所以cosB=
=
=
，
cosC=
=
=
，
∴
=
=
=
=-
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用向量在幾何中的應(yīng)用、余弦定理化簡求值，掌握向量的加法法則及中線的性質(zhì)，是一道中檔題．
，則
的值= ． 
