Question

2．已知函數f（x）=2^x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為奇函數，h（x）為偶函數，若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0對任意x∈[1，2]恒成立，則實數a的取值范圍是[-$\frac{17}{12}$，+∞）．

Answer 1

分析 先根據已知結合函數的奇偶性求出函數g（x）與f（x）的解析式，然后再代入到2a•g（x）+h（2x）≥0中，分離參數a，將問題轉化為函數的最值問題來解．

解答 解：由已知得g（x）+h（x）=2^x…①，
所以g（-x）+h（-x）=2^-x，又因為g（x）為奇函數，h（x）為偶函數，
所以-g（x）+h（x）=2^-x，…②．
①②聯(lián)立解得$h（x）=\frac{1}{2}（{2}^{x}+{2}^{-x}）$，$g（x）=\frac{1}{2}（{2}^{x}-{2}^{-x}）$．
代入不等式2a•g（x）+h（2x）≥0得：
a（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$（2^2x+2^-2x）≥0在[1，2]上恒成立．
令t=${2}^{x}-{2}^{-x}∈[\frac{3}{2}，\frac{15}{4}]$，則2^2x+2^-2x=t²+2．
則原式可化為a≥-$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$），t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]恒成立．
顯然當t=$\frac{3}{2}$時，右式取得最大值為-$\frac{17}{12}$，即有a≥-$\frac{17}{12}$．
故答案為[-$\frac{17}{12}$，+∞）．

點評 本題考查了函數奇偶性性質的應用以及不等式恒成立問題轉化為函數最值問題來解的常規(guī)想法，屬于基礎題．