Question

17．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{4}{5}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，{a}_{n}∈[0，\frac{1}{2}]}\\{2{a}_{n}-1，{a}_{n}∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，則a₂₀₁₅等于（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式分段依次求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，得到數(shù)列的周期，則答案可求．

解答 解：由a₁=$\frac{4}{5}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，{a}_{n}∈[0，\frac{1}{2}]}\\{2{a}_{n}-1，{a}_{n}∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，得
${a}_{2}=2{a}_{1}-1=2×\frac{4}{5}-1=\frac{3}{5}$，${a}_{3}=2{a}_{2}-1=2×\frac{3}{5}-1=\frac{1}{5}$，
${a}_{4}=2{a}_{3}=2×\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$，${a}_{5}=2{a}_{4}=2×\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$，…
∴數(shù)列{a_n}是以4為周期的周期數(shù)列，
則${a}_{2015}={a}_{4×503+3}={a}_{3}=\frac{1}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，關(guān)鍵是對數(shù)列周期的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．