Question

定義在(－1，1)上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x，y∈(－1，1)，都有f(x)＋f(y)＝f()．

(1)求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；

(2)若當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，有f(x)＞0，求證：f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)函數(shù)f(x)的定義域是(－1，1)， 　　由f(x)＋f(y)＝f()，令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＋f(0)＝f()，∴f(0)＝0． 　　令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f()＝f(0)＝0． 　　∴f(－x)＝－f(x)． 　　∴f(x)為奇函數(shù)． 　　(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減．令0＜x1＜x2＜1，則 　　f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f()＝f()． 　　∵0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，1－x1x2＞0． 　　∴＞0． 　　又(x2－x1)－(1－x1x2)＝(x2－1)(x1＋1)＜0， 　　∴0＜x2－x1＜1－x1x2． 　　∴－1＜＜0．由題意知f()＞0， 　　∴f(x1)＞f(x2)． 　　∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)． 　　又f(x)為奇函數(shù)， 　　∴f(x)在(－1，1)上也是減函數(shù)．

提示：

思路分析：(1)定義法證明，利用賦值法獲得f(0)的值進(jìn)而取x＝－y是解題關(guān)鍵；(2)定義法證明，其中判定的范圍是關(guān)鍵． 　　綠色通道：對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問(wèn)題，必用單調(diào)性和奇偶性的定義來(lái)解決，即定義法是解決抽象函數(shù)單調(diào)性和奇偶性問(wèn)題的通法；判斷抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性時(shí)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性．