Question

4．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為e=2，過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，M為雙曲線上不同于A，B的點(diǎn)，且直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，則k₁•k₂=3．

Answer 1

分析 由于A，B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，得出A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)離心率求出a、b、c的關(guān)系，即可求出直線MA，MB的斜率乘積．

解答 解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），M（x，y），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1①，
$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1②，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}{-x}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{-y}^{2}}{^{2}}$，
即$\frac{{y}^{2}{{-y}_{1}}^{2}}{{x}^{2}{{-x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$；
又該雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=2，
∴$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=3，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-y}{{x}_{1}-x}$•$\frac{{y}_{2}-y}{{x}_{2}-x}$=$\frac{{y}_{1}-y}{{x}_{1}-x}$•$\frac{{-y}_{1}-y}{{-x}_{1}-x}$=$\frac{{y}^{2}{{-y}_{1}}^{2}}{{x}^{2}{{-x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)代入化簡(jiǎn)，應(yīng)注意雙曲線幾何量之間的關(guān)系，是綜合性題目．