Question

【題目】已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時，證明，，；

（2）若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析：（2）

【解析】

(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.

(2) ,若函數(shù)在上存在兩個極值點(diǎn),則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可.

(1)證明：當(dāng)時,,則,

當(dāng)時,,則,又因?yàn)?/span>,

所以當(dāng)時,,僅時,,

所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.

(2),因?yàn)?/span>,所以,

①當(dāng)時,恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn).

②當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>.

當(dāng)時,,

所以在上單調(diào)遞減,沒有極值點(diǎn).

當(dāng)時,,所以存在,使

當(dāng)時,時,

所以在處取得極小值,為極小值點(diǎn).

綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù).