Question

6．已知橢圓Γ的中心在原點，焦點在x軸，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且長軸長是短軸長的$\sqrt{2}$倍．
（1）求橢圓Γ的標準方程；
（2）設P（2，0）過橢圓Γ左焦點F的直線l交Γ于A，B兩點，若對滿足條件的任意直線l，不等式$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}≤λ（{λ∈R}）$恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出橢圓方程；
（2）設出A，B坐標，討論直線l的斜率，根據根與系數的關系得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，求出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值即可；

解答 解：（1）設橢圓Γ的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2}b\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓Γ的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\overrightarrow{PA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-2，y₂），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂．
①當直線l垂直x軸時，x₁=x₂=-1，y₁=-y₂且y₁²=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=9-$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{2}$．
②當直線l不垂直于x軸時，設直線l方程為：y=k（x+1），
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）=$\frac{-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{17{k}^{2}+2}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{17}{2}$-$\frac{13}{2（2{k}^{2}+1）}$＜$\frac{17}{2}$．
∵對滿足條件的任意直線l，不等式$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}≤λ（{λ∈R}）$恒成立，
∴λ≥$\frac{17}{2}$，即λ的最小值為$\frac{17}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，平面向量的數量積運算，根與系數的關系，屬于中檔題．