Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足 （

2

a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大�。� 
（2）若b=

6

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，將題中等式的邊化成角的正弦的形式，進而利用兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式，化簡整理求得cosB的值，可得角B的大�。� 
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，結(jié)合題意算出a²+c²-

2

ac=6，利用基本不等式求得ac的最大值，代入△ABC的面積公式加以計算，可得△ABC面積的最大值．

解答：解：（1）∵（

2

a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理，得（

2

sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
可得

2

sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，
化簡得

2

sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，
∵sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C），
∴

2

sinA•cosB=sin（B+C）．
∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴

2

sinA•cosB=sinA，解得cosB=

2

2

，
結(jié)合B∈（0，π），可得B=

π

4

；
（2）若b=

6

，根據(jù)余弦定理得a²+c²-2ac•cos

π

4

=6，
化簡a²+c²-

2

ac=6
又∵a²+c²-

2

ac≥2ac-

2

ac=（2-

2

）ac，
∴（2-

2

）ac≤6，
解得ac≤

6

2- 2

=3（2+

2

）．
當且僅當a=c時，ac有最大值3（2+

2

）
∵△ABC的面積S=

1

2

ac•sinB=

2

4

ac≤

2

4

•3（2+

2

）=

3( 2 +1)

2

，
∴當且僅當a=c=

6+3 2

時，△ABC面積有最大值，最大值等于

3( 2 +1)

2

．

點評：本題給出三角形的邊角關(guān)系，求B的大小并討論三角形面積的最大值，著重考查了正弦定理的運用、兩角和與差的三角函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式和基本不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．