Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2

，記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，則S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2

，得a_n+1=a_n+sin

(n+1)π

2

，運用列舉的方法，確定出周期，再求解數(shù)列的和即可得到答案．

解答： 解：由a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2

，
所以a_n+1=a_n+sin

(n+1)π

2

，
∴a₂=a₁+sinπ=1，a₃=a₂+sin

3π

2

=1-1=0，a₄=a₃+sin2π=0，a₅=a₄+sin

5π

2

=0+1=1，∴a₅=a₁=1
可以判斷：a_n+4=a_n
數(shù)列{a_n}是一個以4為周期的數(shù)列，2014=4×503+2
因為S₂₀₁₄=503×（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁+a₂=503×（1+1+0+0）+1+1=1008，
故答案為：1008

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，與數(shù)列的求和相結(jié)合的題目，題目不難，但是很新穎．