Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），等比數(shù)列{b_n}的公比為q（q≠1），a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₅=b₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若對(duì)于一切正整數(shù)n，都有a_n=log_ab_n+b成立，求常數(shù)a和b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₅=b₃，利用基本量法，建立方程，求得公差與公比，即可求得數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）對(duì)于一切正整數(shù)n，都有a_n=log_ab_n+b成立，即（2-log_a3）n+（log_a3-b-1）=0對(duì)一切正整數(shù)恒成立，由此可求a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）由條件a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₅=b₃，可得1+d=q，1+4d=q²，解得d=2，q=3
∴an=2n-1，bn=3n-1；
（Ⅱ）對(duì)于一切正整數(shù)n，都有a_n=log_ab_n+b成立，
即（2-log_a3）n+（log_a3-b-1）=0對(duì)一切正整數(shù)恒成立．
∴

loga3=2 loga3=b+1

…（11分）         
a＞0，可得：a=

3

，b=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題．