Question

下列命題是否正確？正確的給出證明，不正確的給予說明.

(1)a·b=0,則a=0或b=0;

(2)(a·b)·c=a(b·c);

(3)p²·q²=(p·q)²;

(4)|p+ q|·|p-q|=|p²-q²|;

(5)若a與(a·b)c-(a·c)b均不為0，則它們必垂直.

Answer 1

解析：(1)此命題不正確.∵a⊥b時(shí)a·b=0,?

∴a·b=0得不出a=0或b=0，只能得出a⊥b.?

(2)此命題不正確.∵a·b為一數(shù)量，∴(a·b)c為一向量，此向量的模為|(a·b)c|，與c共線；而a(b·c)也是一向量，但此向量與a共線，∴(a·b)c≠a(b·c).但這兩個(gè)向量的模相等.由此可知，向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.?

(3)此命題不正確.∵p²·q²=|p|²·|q|²,?

而(p·q)²=(|p|·|q|·cos〈p,q〉)²=|p|²·|q|²·cos²〈p,q〉.

∴當(dāng)且僅當(dāng)p∥q時(shí)，p²·q²=(p·q)².?

(4)此命題是假命題.∵|p²-q²|=|(p+q)(p-q)|=|p+q|·|p-q||cosθ|〔其中θ為向量(p+q)與(p-q)的夾角〕,∴當(dāng)且僅當(dāng)θ=0或π時(shí)原等式才成立，而僅當(dāng)p與q共線時(shí)，p+q與p-q才會(huì)共線.∴一般情況下，當(dāng)p、q不共線時(shí)，|p+q|·|p-q|≠|(zhì)p²-q²|.由此命題可知，對(duì)于向量a、b,|a|·|b|=|ab|a∥b.?

(5)正確.∵a·［(a·b)c-(a·c)b］?

=a·(a·b)c-a·(a·c)b?

=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0，?

又由于a與(a·b)c-(a·c)b均為非零向量，?

∴a與(a·b)c-(a·c)b垂直.