Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長(zhǎng)為，M為正方形DCC₁D₁的中心，E、F分別為A₁D₁、BC的中點(diǎn)

（1）求證：AM⊥平面B₁FDE；

（2）求點(diǎn)A到平面EDFB₁的距離；

（3）求二面角A-DE-F的大小。

 

Answer 1

（1）見解析（2） (3)

解析:

（1）證明：連接AM，過M作MG⊥CD于G，連接AG

        ∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，MG⊥CD

        ∴MG⊥平面ABCD

又∵M(jìn)為正方形DCC₁D₁的中心，MG⊥CD

  ∴G為CD中點(diǎn)

在正方形ABCD中，F(xiàn)為CB中點(diǎn)  ∴CF=DG

又∵AD=DC      ∠DCF=∠ADG=Rt∠

  ∴△ADG≌△DCF     ∴∠AGD=∠DFC     ∴AG⊥DF

由MG⊥平面ABCD，AG⊥DF可得AM⊥DF，

同理可得AM⊥DE

  ∴AM⊥平面B₁FDE

（2）設(shè)A到平面DEB₁F的距離為

    ∵E到平面ADF的距離為

    ∴   ∴

       又∵    

             

             

       ∴               

（3）過F作FP⊥AD于P，過P作PQ⊥DE于Q，連接FQ

       ∵FP⊥平面DEP，PQ⊥DE

    ∴FQ⊥DE

       ∴∠FQP為二面角A-DE-F的平面角

       ∵

       ∴

       在R t△FPQ中      

       ∴二面角A-DE-F的大小為