Question

1．設雙曲線$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，且一個焦點與拋物線x²=8y的焦點相同，則此雙曲線的方程是（　�。�

• A． $\frac{y^2}{3}-{x^2}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
• C． ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 根據題意，由拋物線的方程計算可得其焦點坐標，結合題意可得雙曲線$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$中有c=2，結合離心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{n}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解可得n的值，由雙曲線的幾何性質計算可得m的值，將m、n的值代入雙曲線的方程即可得答案．

解答 解：根據題意，拋物線的方程為x²=8y，則其焦點為（0，2），
又由雙曲線$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$的一個焦點與拋物線x²=8y的焦點相同，
則有m＜0而n＞0，且c=2；
雙曲線$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，則有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{n}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解可得n=3，
又由c²=n+（-m）=4；
則m=-1；
故雙曲線的方程為：$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1；
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，注意分析雙曲線焦點的位置．