Question

如圖，四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，△PAD為正三角形，DA⊥AB，CB⊥AB，AB=AD=1，BC=2，E為BC的中點，M為側(cè)棱PB上一點．
（Ⅰ）求二面角P-BD-A的余弦值；
（Ⅱ）是否存在點M使平面MAE⊥平面PBD？若存在，求出

PM

MB

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)DE，設BD與AE交于O，四邊形ABED為正方形，取AD中點F，取DO中點G，則FG⊥BD于G，連結(jié)PG，則PG⊥BD，∠PGF為二面角P-BD-A的平面角，由此能求出二面角P-BD-A的余弦值．
（Ⅱ）要使平面MAE⊥平面PBD，只要BD⊥平面MAE，由AE⊥BD，知只需BD⊥GM，由此能求出滿足條件的點M存在，且

PM

MB

=

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）連結(jié)DE，設BD與AE交于O，
由已知四邊形ABED為正方形，
取AD中點F，∵PAD為正三角形，∴PF⊥AD，
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PF=⊥底面ABCD，
取DO中點G，則FG⊥BD于G，連結(jié)PG，則PG⊥BD，
∴∠PGF為二面角P-BD-A的平面角，
PF=

3

2

，F(xiàn)G=

1

2

AO=

2

4

，
在Rt△PFG中，tan∠PGF=

PF

FG

=

3 2

2 4

=

6

，
∴cos∠PGF=

7

7

．
∴二面角P-BD-A的余弦值為

7

7

．
（Ⅱ）要使平面MAE⊥平面PBD，只要BD⊥平面MAE，
∵AE⊥BD，∴只需BD⊥GM，
在△PBD中，PD=1，PB=BD=

2

，
cos∠PBD=

2+2-1

2×2

=

3

4

．
BM=

GB

cos∠PBD

=

2 2

3 4

=

2 2

3

．
∴滿足條件的點M存在，且

PM

MB

=

1

2

．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．