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已知|
a
|=1，|
b
|=2，
a
，
b
的夾角為
π
3
，試求：
（1）
a
+
b
與
a
-
b
夾角的余弦值．
（2）使向量
a
+λ
b
與λ
a
-
b
的夾角為鈍角時，λ的取值范圍．
∵|
a
|=1，|
b
|=2，
a
、
b
的夾角為
π
3
，
∴
a
•
b
=|
a
|×|
b
|cos
π
3
=1
（1）∵（
a
+
b
）2=
a
2+2
a
•
b
+
b
2=1+2×1+4=7，（
a
-
b
）2=
a
2-2
a
•
b
+
b
2=1-2×1+4=3，
∴|
a
+
b
|=
7
，|
a
-
b
|=
3

設(shè)
a
+
b
與
a
-
b
的夾角為α，則
cosα=
(
a
+
b
)(
a
-
b
)
|
a
+
b
|•|
a
-
b
|
=
1-4
7
×
3
=-
21
7
，
即
a
+
b
與
a
-
b
夾角的余弦值等于-
21
7

（2）根據(jù)題意，不存在λ值，使向量
a
+λ
b
與λ
a
-
b
的夾角為π，
∴向量
a
+λ
b
與λ
a
-
b
的夾角為鈍角時，可得
（
a
+λ
b
）（λ
a
-
b
）＜0，即λ
a
2+（λ2-1）
a
•
b
-λ
b
2＜0
將|
a
|=1，|
b
|=2和
a
•
b
=1代入，可得
λ+（λ2-1）-4λ＜0，整理得λ2-3λ-1＜0
解這個不等式，得
3-
13
2
＜λ＜
3+
13
2

因此λ的取值范圍是（
3-
13
2
，
3+
13
2
）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=
2
且
a
⊥(
a
-
b
)，則向量
a
與向量
b
的夾角是（　�。�
A、30°B、45°
C、90°D、135°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a|
=1，|
b
|=2，
a
⊥(
a
+
b
)，則
a
與
b
夾角的度數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=
3
，且
a
，
b
的夾角為
π
6
，則|
a
-
b
|的值為
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=2，向量
a
與
b
的夾角為
2π
3
，
c
=
a
+2
b
，則
c
的模等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=1，b=2．
（1）若sin
A
2
=
1
4
，求sinB的值；
（2）若cosC=
1
4
，求△ABC的周長．

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同步練習(xí)冊答案