Question

17．在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，且A=$\frac{2π}{3}$，b+2c=8，則當△ABC的面積取得最大值時，a的值為2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由題意可得b=8-2c，代入三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c（4-c），由基本不等式可得c和b值，由余弦定理可得a值．

解答 解：∵在△ABC中，A=$\frac{2π}{3}$，b+2c=8，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c（8-2c）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c（4-c）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{c+4-c}{2}$）²=2$\sqrt{3}$，
當且僅當c=4-c即c=2時取等號，此時b=4，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=16+4-2×4×2×（-$\frac{1}{2}$）=28，
開方可得a=2$\sqrt{7}$，
故答案為：2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查余弦定理的應用和三角形的面積計算公式，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．