Question

已知數列{a_n}的前n項和Sn=2n²（n∈N^*），等比數列{b_n}滿足：a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3）．
（1）求{a_n}及{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據S_n=2n²（n∈N^*），再寫一式，兩式相減，可得{a_n}的通項公式；利用數列{b_n}是等比數列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3），即可求得{b_n}的通項公式；
（2）由（1）知c_n==，利用錯位相減法，即可求數列{c_n}的前n項和T_n．
解答：解：（1）∵S_n=2n²（n∈N^*），∴n=1時，a₁=S₁=2；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，a₁=2也滿足上式
∴a_n=4n-2
∵數列{b_n}是等比數列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3）．
∴數列{b_n}的公比
∵b₁=a₁=2
∴b_n=2ⁿ；
（2）由（1）知c_n==，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1++…+①
∴=++…+②
①-②可得=1+++…+-=3-
∴數列{c_n}的前n項和T_n=6-．
點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查錯位相減法求數列的和，屬于中檔題．