Question

如圖，4×4的方陣共16個黑點中，中間的4個點在一個圓內，其余的12個點內在圓外，若從這16個點中任取3個，使之構成三角形，且至少有一個頂點在圓內的三角形共有    ．

Answer 1

【答案】分析：事件“至少有一個頂點在圓內”包括了三個事件“有一個點在圓內”與“有兩個點在圓內”及“三個點在圓內”，注意到構成三角形的條件是三點不共線，由此規(guī)律對兩個事件計數，求得它們的和即為事件“至少有一個頂點在圓內”所包括的基本事件數
解答：解：由題意事件“至少有一個頂點在圓內”包括了三個事件“有一個點在圓內”與“有兩個點在圓內”，“三個點在圓內”
先計算事件“有一個點在圓內”，從圓外的12個點中取兩個，共有C₁₂²=66種取法，三點共線的取法有4種，故總的取法有62種，又圓內有四個點，故事件“有一個點在圓內”包括的基本事件數有62×4=248，
對于事件“有兩個點在圓內”，從圓外取一個點有12種取法，滿足三點共線的取法有2種，故任取圓內兩點，圓外取一點，組成的三角形的個數為10種，又圓內四點取兩個有C₄²=6種取法，故事件“有兩個點在圓內”，包含的基本事件數為10×6=60種
事件“三個在圓內”包括的基本事件數為C₄³=4個，
綜上，事件“至少有一個頂點在圓內”的三角形總共有248+60+4=312種
故答案為312
點評：本題考查排列組合及簡單的計數問題，解題的關鍵是正確理解事件至少有一個頂點在圓內的三角形”，將此計數問題分為三類計數，本題考查了分類討論的思想，當一個事件包含的基本事件有較大的區(qū)別時，常采用分類計數的辦法計數，解題時要注意此技巧的使用，注意分類要分清楚．