Question

已知函數(shù)f（x）=kx+m，當(dāng)x∈[a₁，b₁]時，f（x）的值域為[a₂，b₂]，當(dāng)x∈[a₂，b₂]時，f（x）的值域為[a₃，b₃]，依此類推，一般地，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）的值域為[a_n，b_n]，其中k、m為常數(shù)，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）項m=2，問是否存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列{b_n}滿足若存在，求k的值；若不存在，請說明理由；
（3）若k＜0，設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，求T₂₀₁₀-S₂₀₁₀．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為f（x）=x+m，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，所以其值域為[a_n-1+m，b_n-1+m]，由此能求出a_n和b_n．
（2）因為f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調(diào)增函數(shù)．所以f（x）的值域為[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，則b_n=kb_n-1+2（n≥2）．
法一：假設(shè)存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列，由此能求出k的值．
法二：假設(shè)存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列{b_n}滿足．當(dāng)k=1不符合．當(dāng)k≠1時，由此能求出k的值．
（3）因為k＜0，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調(diào)減函數(shù)，所以f（x）的值域為[kb_n-1+m，ka_n-1+m]．由此入手，能求出T₂₀₁₀-S₂₀₁₀．
解答：解：（1）因為f（x）=x+m，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
所以其值域為[a_n-1+m，b_n-1+m]…（2分）
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）…（4分）
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．…（6分）
（2）因為f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調(diào)增函數(shù)
所以f（x）的值域為[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，則b_n=kb_n-1+2（n≥2）…（8分）
法一：假設(shè)存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列，得符合．…（12分）
法二：假設(shè)存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列{b_n}滿足．
當(dāng)k=1不符合．…（9分）
當(dāng)，
則，…（11分）
當(dāng)．…（12分）
（3）因為k＜0，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調(diào)減函數(shù)，
所以f（x）的值域為[kb_n-1+m，ka_n-1+m]…（14分）
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
則b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）…（16分）
又b₁-a₁=1
則有…（18分）
點評：本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．注意極限和分類討論思想的靈活運用．