Question

14．（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶的展開式中的常數項為（　�。�

• A． 32
• B． 90
• C． 140
• D． 141

Answer 1

分析 先將原式寫成：（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶=[1+（x+$\frac{1}{x}$）]⁶，再用二項式定理將該式展開，根據常數項的特征，得出常數項為：${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{2}$•${C}_{2}^{1}$+${C}_{6}^{4}$•${C}_{4}^{2}$+${C}_{6}^{6}$•${C}_{6}^{3}$，最后求出其值即可．

解答 解：（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶=[1+（x+$\frac{1}{x}$）]⁶
=${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{1}$（x+$\frac{1}{x}$）+${C}_{6}^{2}$（x+$\frac{1}{x}$）²+${C}_{6}^{3}$（x+$\frac{1}{x}$）³+…+${C}_{6}^{6}$（x+$\frac{1}{x}$）⁶，
上式共有7項，其中第一，三，五，七項存在常數項，
因此，這四項的常數項之和即為原式的常數項，
且各項的常數項如下：
${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{2}$•${C}_{2}^{1}$+${C}_{6}^{4}$•${C}_{4}^{2}$+${C}_{6}^{6}$•${C}_{6}^{3}$
=1+30+90+20=141，
即（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶的常數項為141，
故答案為：D．

點評 本題主要考查了二項式定理及其應用，涉及二項式系數的性質和常數項的確定，以及組合數的運算，屬于中檔題．